HOLOGRAMAS Y ALMACENAMIENTO

La holografía, es una técnica especial de fotografía, para la que se utiliza un rayo de luz láser y que permite representar los objetos de forma tridimensional.
Sin entrar en detalles demasiados técnicos, digamos que se logra, haciendo interferir las ondas lanzadas sobre el objeto y q han interaccionado con él, con las ondas, que lanzadas por el mismo foco, no han sido influidas por el objeto. Registradas estas interferencias entre los dos trenes de ondas, en una emulsión sensible, especial, procesada e iluminada después convenientemente, nos da una imagen tridimensional del objeto, con muchísima más información de él, que una foto normal, variando la perspectiva según el espectador se vaya cambiando de posición.
Básicamente podemos distinguir dos tipos de holograma:
De trasmisión. Visibles al ser iluminados por detrás
De reflexión. La iluminación procede del mismo lado del observador.
Una de las innumerables aplicaciones de la holografía, es la de almacenar información.
Muy parecida a como se almacena la información en un DVD, en esta técnica holográfica, es también un láser que graba la información en el soporte fotosensible. Pero mientras que en la técnica del DVD, la información se almacena en la superficie, en el caso de emplear la técnica holográfica, se almacena en todo el volumen del soporte
De esta forma, se podrán lograr soportes de tamaño parecido a los actuales DVD pero con una capacidad de almacenamiento de 1,6 terabites ( 1600 gigabite ) Para hacernos una idea, esa es aproximadamente la capacidad de unos 360 DVD actuales, más o menos, el equivalente al fondo de una inmensa biblioteca de cuatro millones de libros.

NÚMEROS AMIGOS. LA FÓRMULA PREFERIDA DEL PROFESOR

Un buen amigo, Francisco Morente, me ha regalado un libro sobre Matemáticas, "La fórmula preferida del profesor". Es una interesante novela. El argumento, gira alrededor de un profesor, con ciertos problemas psíquicos y su pasión por las Matemáticas. Lo recomiendo. Su autor es Yoko Ogawa.

Esta obra, está siendo un auténtico fenómeno social en Japón, habiéndose vendido tres millones de ejemplares en dos meses.

Al comienzo del libro, nos habla su autor, a traves del profesor, de los números amigos..

Veamos que se entienden por números amigos.

Tomemos los nº 220 y 284

Escribamos los divisores de ambos números, quitando el propio nº

Los de 220 son: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110

Los de 284 son:1,2,4,71,142

Si sumamos los divisores de 220 antes escritos nos da:

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

Si sumamos los divisores de 284 antes escritos nos da:

1+2+4+71+142=220

Por esta particularidad tan asombrosa, a esos nº se les llaman nº amigos.

Nos dice el profesor, que son una combinación muy infrecuente, comentando que Fermat o Descartes, sólo lograron descubrir un par, cada uno de ellos.

Es muy posible, que invitemos más veces, a nuestro querido profesor a comentarnos curiosidades matemáticas.

POR AVERIA EN LA CONEXIÓN A INTERNET DESDE MI PC DE SOBREMESA, NO HAY NUEVA ENTRADA, LO SIENTO

NÚMEROS QUE MAREAN. 2009 AÑO INTERNACIONAL DE LA ASTRONOMÍA

La Unesco, bajo el lema de El Universo para que lo descubras, ha proclamado 2009 Año Internacional de la Astronomía.
Vamos a hablar de algunas cifras astronómicas…
Os pediría que las leyéramos despacio y reflexionando sobre ellas, seguro que si así lo hacemos, será una buena cura de humildad.
Una galaxia estás compuesta por un enorme conjunto de estrellas y otros cuerpos, normalmente girando en espiral.
Las estrellas que componen una galaxia está, según algunos, alrededor de 100.000.000.000. Si, has leído bien, cien mil millones, hay otros astrónomos que hablan de hasta cuatrocientos mil millones.
Nuestro querido Sol, no es más que una de esas estrellas, por cierto, ni grande ni pequeña.. Nuestro Sol es una estrella mediana de tantas y tantas que pueblan el Universo.
No todas las estrellas, están acompañadas de planetas, cometas.. asteroides y demás cuerpos. Pero según se van perfeccionando los instrumentos de observación, cada vez se detectan más estrellas con planetas.
Si tenemos en cuenta que con el telescopio Hubble, cuyo rendimiento es impresionante, se han calculado unas 10.000.000.000. diez mil millones de galaxias, con una sencilla multiplicación, si no nos mareamos con tantos ceros, en el Universo habría más de MIL TRILLONES DE ESTRELLAS es decir 1.000.000.000.000.000.000.000, si pensamos que muchas de ellas, tendrán, planetas, cometas, asteroides, etc..La cantidad de cuerpos del Universo, es apabullante.
Decir que somos un granito de arena en la inmensidad de un desierto, es hasta demasiado, comparativamente hablando, no somos ni eso.
En los enlaces, podéis conectar con diversas paginas de Astronomía, algunas, sobre todo las de las fotos del Hubble, con imágenes de una tremenda belleza.
Espero que esta entrada, os haga reflexionar, admirar a Aquel que creo el Universo y como digo anteriormente, nos sirva a todos, como una cura de humildad ante tanta perfección y belleza

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La inversión térmica y la contaminación.

Cuando nos acercamos a una ciudad sobre todo en los días soleados y frios del invierno, habremos podido observar, como toda la contaminación, sea del tipo que sea, se almacena desde una altura perfectamente definible hacia abajo.

¿ Qué fenómeno origina ese episodio de contaminación?
Hablemos de la inversión térmica.
Normalmente, la temperatura del aire disminuye con la distancia, de tal manera que en una atmósfera normal, hay una disminución de 0.64 a 1 ºC cada 100 metros en la zona más próxima a la superficie de la tierra, llamada troposfera. Por encima de ella, la temperatura disminuye más rápidamente, ésto es lo que se llama gradiente vertical de temperatura normal, GVT. Pero bajo determinadas condiciones orográficas y climatológicas, este gradiente puede alterarse de tal manera, que a una determinada altura la temperatura del aire es superior a la de una altura inferior. El problema que ésto crea, es impedir la dispersión vertical de los humos y de otros contaminantes enviados a la atmósfera, por las industrias, calefacciones, motores de explosión, actividades urbanas etc.
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Situación normal........Inversión de tierra...... Inversión de altura

Hay diversos tipos de inversión térmica

Está la inversión de tierra.
Se produce en las largas noches del invierno, cuando en contacto con la fria tierra, las capas de aire más bajas, se enfrian, dándose el caso de que por encima de esas capas, a más altura, la temperatura del aire es mayor.

La inversión de altura.
Se produce cuando dos masas de aire procedente de distintos lugares, chocan, quedando la masa de aire más caliente por encima de la masa de aire más frio, por ese motivo, a esa altura se origina una inversión termica.
Este tipo de condición meteorológica es la más usual en Canarias. Se origina, por la presencia de una zona de típicas altas presiones situada en el paralelo 30ºN y 30ºS. En el caso de Canarias, esta zona está situada en las proximidades del archipiélago de las Azores, denominándose Anticiclón de las Azores (que gira en el sentido de las agujas del reloj). Se caracteriza, por un lado, por la presencia de una masa de aire (Alisio Inferior), fresco y húmedo (al permanecer durante gran parte de su recorrido en contacto con una superficie oceánica fria (Corriente marina fria de Canarias). Y por otro lado una segunda masa de aire cálido (Alisio Superior) y seco (al no entrar en contacto con el mar), situado sobre los 1.500m de altitud.
La presencia de estas dos masas de aire tan diferentes, y una sobre la otra. provoca la existencia de una capa más cálida sobre otra más fria, denominada inversión térmica, que impide el ascenso de las capas inferiores, y por consiguiente inhibe el desarrollo de nubes de gran desarrollo vertical (al mismo tiempo que impide la ascención de polución a las capas superiores).





























En las dos imágenes anteriores, se ve una situación normal , al estar el aire frio por encima de otro a más temperatura y puesto que el aire caliente pesa menos que el frio, las partículas contaminantes, arrastradas por las corrientes ascendentes, se difunden verticalmente en la atmósfera. En la otra imagen, al situarse una capa de aire caliente por encima de otra a menos temperatura, se produce la inversión térmica, no ocurre el suceso anterior de difusión de partículas, y como consecuencia, lo que sucede, es el llamado efecto tapadera, que hace que la contaminación quede almacenada en las capas inferiores.

A continuación, vemos una fotografía que hice un dia frio de invierno, viniendo desde La Alfaguara hacia Granada. En ella, se ve perfectamente, donde se produce la inversión térmica y cómo la bruma y diversas partículas quedan atrapadas en las capas más bajas de la atmósfera.

Termo ( continuación ). Trasmisión del calor por radiación.

Decíamos en la última entrada publicada, que el termo, mantenía muchas horas la temperatura del fluido que se introducía, debido al vacío que se había creado en su interior.
Dejábamos pendiente la reflexión:

Si el vacío impide la trasmisión del calor, ¿cómo nos llega el calor del Sol, si tenemos en cuenta que entre el Sol y la Tierra hay un enorme espacio, prácticamente vacío?
Vamos a aclararlo.
El calor se trasmite de tres formas:
Conducción — transferencia de calor por difusión o vibración de los electrones.
Convección — transferencia de calor por conducción en un medio en movimiento, como un fluido.

Radiación — transferencia de calor por radiación electromagnética o, equivalentemente, por fotones.
El calor para trasmitirse por conducción, necesita un medio, por eso no se puede trasmitir en el vacío. Sin embargo, el calor también se puede trasmitir por radiación, mediante ondas electromagnéticas, en este caso, lo puede hacer perfectamente en el vacío total.

El calor del Sol, nos viene de esta forma, mediante ondas electromagnéticas.

Precisamente para hacer más prácticos los termos y para que pierdan el mínimo de energía mediante radiación, es por lo que su interior, está hecho de una superficie brillante, reflectante.

TERMO

El termo es un recipiente que sirve para mantener lo que en él echamos, normalmente líquido, a la temperatura que lo hemos echado, durante mucho tiempo.
Se basa, en que el vacío, no se puede trasmitir el calor por conducción.
Por lo tanto, entre la pared exterior del recipiente y la pared interior donde echamos el líquido, hay una cámara en la q se ha hecho el vacío, éste espacio, impide que se trasmita el calor entre el exterior del recipiente y el interior
Como es lógico, las dos partes del termo, la exterior y la interior, es imposible que no tengan puntos en común y es precisamente por esa unión, normalmente en la zona de la boca y del tapón, por la que se pierde energía en forma de calor, si lo que hemos echado dentro está a más temperatura que el exterior, o se gana energía, si el líquido que hemos echado, está a menos temperatura que el exterior. Pero la pérdida es tan poca, que puede mantener una temperatura muy similar a la original por 10-12 horas.
El termo fue inventado por el escocés Sir James Dewar, mientras trabajaba como científico en la universidad de Oxford en 1892. Sin embargo, nunca patentó su invento, los científicos lo utilizaron para guardar sueros y vacunas a temperatura estable.
Los primeros termos para uso comercial fueron hechos en 1904 por compañía alemana, Thermos gmbH. "Thermos".
Pero hay una pregunta. Si el termo, se basa en el vacío para mantener la temperatura…¿ Cómo nos llega el calor del Sol, si entre él y la Tierra hay un gran espacio, prácticamente vacío?
En la próxima entrada hablaremos de ello.

EL SILENCIO DE LA NIEVE

Es fácil observar, que después de una intensa nevada, reina un característico silencio..
Se puede creer que ese silencio, es sólo consecuencia de los pocos ruidos ambientales, producidos por la ausencia de actividad humana debido al frío. Pero eso no es así, muchas veces, es lo contrario. Si la nevada se produce en un lugar poco habituado a este fenómeno, hay niños y en general personas jugando y disfrutando de la novedad. Sin embargo las sensaciones acústicas de un día así, las tenemos todos en la memoria y son muy especiales..
¿A que se debe?
La nieve, sobre todo recién caída, es muy porosa, debido a ello, forma una superficie muy absorbente para las ondas sonoras, como consecuencia de ello, absorbe mucho sonido y refleja poco, creando ese ambiente acústico particular de los paisajes nevados.

¿PUEDE HABER DOS PERSONAS CON EL MISMO NÚMERO DE CABELLOS EN LA CABEZA?

En período aún de recuperación de la pancreatitis sufrida, retomo la publicación de nuevas entradas en mi blog..
Aprovecho para dar las gracias a tantas y tantas personas que se han interesado por mi salud.
Vamos con el título de la entrada.

¿Hay dos personas con el mismo nº de cabellos en la cabeza?

Evidentemente SI. Incluso, sin contar a los totalmente calvos (cero pelos en la cabeza) que obviamente hay muchos.
Vamos a razonarlo de forma matemática.
Veamos cuantos cabellos por centímetro cuadrado, puede tener una persona con bastante pelo.
En realidad los que saben de esa materia, hablan de “unidad folicular”
“El término unidad folicular representa una agrupación natural de cabello que emerge desde el mismo poro de la piel. Vista en un microscopio, las unidades foliculares se conforman de 1 a 3 cabellos.
…………………………………………………………………………………
En términos generales, la densidad normal de un individuo se encuentra entre los 80 a 100 unidades foliculares por centímetro cuadrado”

Los datos están tomados de:
http://www.nadermedical.com/cabello_transplante.html

Por lo tanto, una cabeza bien poblada de cabellos, puede tener como máximo ( caso que nunca se dará) pero tomemos el mayor margen por arriba, unos 300 cabellos por centímetro cuadrado.

Para que NO tuvieran el mismo número de cabellos en la cabeza dos personas, una tendría que tener un cabello, otra dos, otras tres, otra cuatro…. Así sucesivamente…
Si ciframos la población mundial en unos seis mil millones, para que dos personas no tuvieran el mismo nº de cabellos en la cabeza, UNA TENDRIA QUE TENER SEIS MIL MILLONES DE CABELLOS.
Si dividimos seis mil millones, 6.000.000.000 por lo 300 cabellos que, como mucho tiene una persona por centímetro cuadrado, nos da 20.000.000 centímetros cuadrados, en metros serían 2.000 metros cuadrados de cuero cabelludo…Algo evidentemente imposible.

INGRESADO. FELICES FIESTAS

El día 11 de diciembre, me tuve que ir a urgencias aquejado de fuertes dolores abdominales. Quedé ingresado, se me diagnosticó pancreatitis. Hoy 26, quince días después y debido a las fechas en las que estamos, se me ha permitido regresar a casa, eso si, con una dieta muy severa. Ese es el motivo de no haber publicado nada en todo este tiempo.

OS DESEO PASÉIS UNAS FELICES FIESTAS Y QUE EL 2009 OS COLME DE TODO LO QUE VUESTRAS ALMAS NECESITAN.

LA CÁLIDA ALFOMBRA Y EL FRÍO MÁRMOL

Si estamos en el invierno, cuando escribo este artículo, en Granada hace mucho frío, habremos experimentado, la agradable sensación de pisar descalzos una buena alfombra de lana. Que distinta sensación tenemos al pisar un suelo de mármol, aunque dicho suelo, por estar al lado de la alfombra, esté a la misma temperatura.
¿Qué motivo hay para que estando alfombra y mármol a la misma temperatura, la sensación al pisarlos, sea tan distinta?
El motivo no es otro que su distinta conductividad térmica.

Además, de la transmisión de energía, en forma en este caso de calor, del cuerpo que más energía tiene, al que tiene menos.
La conductividad térmica es una propiedad física de los materiales que mide la capacidad de conducción de calor. Es elevada en metales y en general en cuerpos continuos, y es baja en los gases, siendo muy baja en algunos materiales especiales como la fibra de vidrio, que se denominan por eso aislantes térmicos.

Para que exista conducción térmica hace falta una sustancia, de ahí que es nula en el vacío ideal, y muy baja en ambientes donde se ha practicado un vacío elevado. Es el caso de los termos, que logran mantener por mucho tiempo, los líquidos a la temperatura a la que los hemos guardado.
La alfombra está construida con lana, un mal conductor térmico y como resultante un buen aislante, pero además, atrapa entre sus fibra aire, otro mal conductor térmico y buen aislante.
Lo contrario le pasa al mármol, que es un buen conductor y mal aislante.
Por ello, al pisar el mármol, como nuestro cuerpo está a más temperatura que él y siendo éste un buen conductor, al intentar igualarse las temperaturas, “roba” rápidamente el calor de nuestro pie, lo que nos hace sentir esa sensación de frío ( desagradable si es invierno, agradable si es en verano )

EL EFECTO BOTIJO

Todos hemos bebido agua fresca de un botijo. Alguna vez nos hemos podido preguntar, el motivo de que el botijo mantenga el agua a una temperatura considerablemente inferior a la del ambiente.
El botijo está hecho de una materia porosa, los botijos pintados y de superficies brillantes, pueden ser muy bonitos, pero no mantienen el agua igual de fresca. Esa materia porosa hace que el agua de su interior empape la superficie, rezume. Ese agua que impregna la superficie, se evapora. Para evaporarse, necesita energía y esa energía la toma del agua interior del recipiente, logrando de esta simple manera bajar la temperatura.
La energía que "roba" el agua al evaporarse es aproximadamente 600 calorías por gramo de agua evaporada.
Evidentemente el que el botijo "haga" un agua más o menos fresca, depende mucho de las condiciones exteriores. Por ejemplo, si el botijo está en un lugar aireado y seco, enfriará más que en un lugar húmedo. Por eso un botijo, enfriará más en la montaña que en la playa.
En condiciones óptimas estos recipientes, pueden llegar a bajar la temperatura del agua de su interior, entre unos 10 y 15 º C. que no está nada mal.
El efecto es el mismo que se produce cuando sudamos, el sudor tiene como misión el bajar la temperatura del cuerpo. Al evaporarse el sudor, necesita energía, al tomar esta energía, hace que la temperatura de la piel y por lo tanto del cuerpo, baje.
Cuando nos ponemos un pañuelo mojado en el cuello, pasa lo mismo.
Cuando a un enfermo, se le ponen toallitas mojadas en la frente o en otras partes del cuerpo, se busca lo mismo, la bajada de la temperatura por el proceso de evaporación del agua.
En los pueblos, es muy normal ver en los días de verano, a las mujeres con un cubo en una mano y esparciendo ( rociando ) agua en la puerta de la casa con la otra. Tengo en mis recuerdos esa imagen ya al atardecer, momentos antes de sacar las sillas, para sentarse en agradables tertulias estivales.
Estamos, otra vez, procurando bajar la temperatura por el mismo efecto, la energía que necesita el agua para evaporarse, sólo que en este caso, en vez de tomarla del agua, la toma del medio ambiente, haciéndolo así algo más fresco y soportable

LOS IONES NEGATIVOS SON LOS POSITIVOS

Muchas veces, cuando estamos en ciertos ambientes, experimentamos una gran sensación de bienestar.

Seguro que hemos podido observar que esa sensación, siempre se da en unas circunstancias concretas. La mayoría de las veces, tiene su explicación científica.

Empecemos por definir que son los iones.

Se define al ion o ión, del griego (ἰών, "el que va"), como una especie química, ya sea un átomo o una molécula cargada eléctricamente. Esto se debe a que ha ganado o perdido electrones de su dotación, originalmente neutra, fenómeno que se conoce como ionización.
Los iones cargados negativamente, producidos por la ganancia de electrones, se conocen como aniones (que son atraídos por el ánodo) y los cargados positivamente, consecuencia de una pérdida de electrones, se conocen como cationes (los que son atraídos por el cátodo).

El ser humano, se encuentra mucho mejor en un ambiente cargado negativamente, es decir con iones negativos, que en un ambiente cargado con iones positivos, de ahí el título de este artículo.

LOS INONES NEGATIVOS SON LOS POSITIVOS para la salud, claro está.

Vamos a centrarnos, en una tarde de cielo gris plomizo, con densas nubes que amenazan tormenta.

¿ Cómo nos encontramos ante esa situación? Normalmente, nos encontramos pesados, densos, incluso con cierta tendencia hacia estados depresivos o al menos de abatimiento..

Por fin, se desarrolla una fuerte tormenta, rayos, lluvia, etc.. Al final cesa.. Salimos a dar un paseo, ¿ Cómo nos encontramos ahora ? Estamos mucho más relajados, las tensiones han cesado, como también, el mal estado incluso de pesimismo que antes nos embargaba.

¿ Qué ha pasado ? Antes de las tormentas, la atmósfera está cargada con iones positivos. Cuando estalla la tormenta, los rayos, la lluvia, el arrastrar el agua las particulas de polvo de la atmósfera, etc. Todos esos efectos combinados, hacen que la atmósfera se cargue de iones negativos, ese es el verdadero motivo de que antes de la tormenta, nos encontremos densos, pesados, mal en general y después, nos encontremos mucho mejor.

La naturaleza, las plantas, las cascadas de agua, las fuentes, liberan iones negativos. No es por lo tanto casualidad que nos encontremos tan bien, a la orilla de los cursos de agua y más si se producen cascadas.

El polvo, los humos, los productos sintéticos, atrapan los iones negativos y hacen que la atmósfera quede cargada de forma positiva y por eso son malos para nuestra salud.

¿ Os habéis parado a pensar, el motivo de que sea tan gratificante un paseo por EL GENERALIFE?

Hay plantas que son más eficaces, a la hora de cargar el ambiente de forma negativa ( recordemos, positiva para la salud ). Es el caso de todas las familias de los cactus.

Actualmente muchos modelos de aire acondicionado, son a la vez ionizadores, es decir, cargan el ambiente de iones negativos.
El artículo de hoy, es un motivo más para que tratemos con cariño a esos seres vivos que tenemos dentro de nuestras casas. Me refiero a las plantas. Además de ayudarnos de otra muchas formas, también nos crean un ambiente más saludable para vivir.
( Tened en cuenta que las plantas por la noche "respiran" y consumen también oxígeno, al contrario que hacen durante el día, que como consecuencia de la función clorofílica, lo liberan. No se deben tener por ese motivo, demasiadas plantas en el recinto donde dormimos)

ANTENAS PARABÓLICAS

Las antenas para recibir señales de diversos tipos, son parabólicas.

Alguna vez nos podemos haber preguntado, el motivo de tener ese tipo de simetría y no otro. Por ejemplo ¿por qué las antenas no son una semi esfera?

La sección de una antena parabólica es evidéntemente, una parábola. La parábola es la cónica que resulta, al cortar una superficie cónica, por un plano paralelo a la generatriz del cono.

La parábola es el lugar geométrico de puntos del plano , tales que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz.

La parábola tiene una propiedad muy importante.
Si trazamos la tangente a la parábola en un punto, esta tangente es bisectriz del ángulo que forman:

La recta obtenida al unir el foco con el punto de tangencia y la recta que pasando por dicho punto, es paralela al eje de simetría de la parábola.

La propiedad anterior tiene como consecuencia que la superficie parabólica, sea lo que se llama, una superficie reflectante, es decir, los rayos paralelos al eje de simetría de la parábola, son reflejados al incidir en la superficie parabólica, hacia el foco de la parábola.

Las aplicaciones prácticas son muchas.

Las antenas de satélites y radiotelescopios aprovechan la propiedad anterior para dirigir las señales recibidas desde un emisor lejano, hacia un receptor colocado en la posición del foco.

Si construimos un espejo de forma parabólica, los rayos del sol serán reflejados hacia el foco de la parábola, donde se podrá obtener una temperatura muy elevada.

En la Plataforma Solar de Tabernas ( Almería ) Podemos encontrar diversas aplicaciones de la propiedad anteriormente señalada. Algunas de ellas se muestran a continuación, en las fotografías que acompañan este artículo.




Arquímides, ya hizo uso de esta propiedad en el año 212 a.C. para prender fuego a los barcos enemigos desde lejos.

PROGRAMACIÓN LINEAL

PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Expongo aquí, resuelto, un problema típico de programación lineal.
Pretendo con ello, que mis alumnos de 1º de Bachillerato, vean una aplicación práctica de la resolución de los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas, aunque la programación lineal no esté dentro del programa de la asignatura.
He decidido incluir este problema en mi blog, en vez de “subirlo” a mi wiki-espacio, por si una aplicación tan práctica de unas matemáticas elementales, pudieran ser de interés para algunas de las personas que visitan mi blog.
Como introducción diré que en 1939, el matemático ruso Leonidas V. Kantorovitch publica una extensa monografía, Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción, en la que por primera vez, se tratan una gran gama de problemas con una teoría matemática muy concreta y precisa que hoy llamamos programación lineal.
En 1941-1942, se formula por primera vez el problema del transporte y lo hacen de forma independiente, por un lado Koopmans y por otro Kantorovitch.
Pero el desarrollo operativo de la programación lineal comienza en 1947, cuando George Bernard Dantzing hizo la primera formulación del METODO SIMPLEX.
Aquí, he usado para resolver el problema un método geométrico muy sencillo y lógico.
La programación lineal, se aplicó primeramente a problemas de nutrición ( problema de la dieta ) y después, a multitud de problemas de todo tipo, la mayor parte de las veces, estos problemas eran económicos.
En 1958, se aplican los métodos de la programación lineal, para calcular el plan óptimo de transporte de materiales, a las obras en Moscú.
Os dejo con un sencillo problema, con el que nos podemos hacer una idea de esta parte de las Matemáticas.

Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la del tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas. Las del tipo B contienen 2 kg de chocolate, 1,5 de almendras y 1 de fruta. Los precios de las cajas de tipo A y B son respectivamente 7 € y 9 € ¿Cuantas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su venta?

SOLUCIÓN
Lo primero que haremos, es ordenar los datos, nos facilitará el planteamiento de las inecuaciones que formarán la región factible.
La región factible es el recinto del plano que verifica todas las inecuaciones.
El número de cajas del tipo A que debemos fabricar le llamamos x.
El número de cajas del tipo B que debemos fabricar le llamamos y.
El chocolate total que emplearemos será 3x+2y , lógicamente, tendrá que ser menor ó igual que la cantidad de chocolate que tenemos…que son 500 kg.
Lo mismo con las almendras y la fruta.
Las inecuaciones que forman la región factible son:
3x+2y ≤ 500
x+1,5y ≤ 100
x + y ≤ 85
x ≥ 0
y ≥ 0

Las inecuaciones x ≥ 0 e y ≥ 0 son de pura lógica. Nunca podremos fabricar un número negativo de cajas Las dos inecuaciones antes citadas, definen el primer cuadrante del plano.
A continuación, dibujamos las rectas r-> 3x+2y = 500,

s->x +1,5 y = 100, t-> x+y = 85
r -> 3x+2y = 500, y = ( 500 - 3x) /2 Para x = 0 -> y = 250

Para x = 100 -> y = 100
s -> x +1,5 y = 100 por 2 -> 2x+3y = 200, y = ( 200 - 2x)/3

x = 100 -> y = 0 ; x=0 -> y =200/3 =Aprox 66,6
t -> x+y = 85, y = 85 – x Para x = 0 ->y = 85 Para x = 85->y = 0

La función que queremos hacer máxima, la venta total, será:

Z (x,y) = 7 x + 9 y

Dibujamos las rectas, a continuación, vemos qué semiplano en cada caso, verifica la inecuación correspondiente. Para ello y puesto que ninguna de las rectas pasa por el ( 0, 0 ) lo más fácil es dar este valor, viendo si verifica la inecuación o no. Si la verifica, será esa parte del plano la solución de la inecuación correspondiente, si no es así, será la otra parte del plano.

La región factible es el cuadrilátero OABC. En cualquiera de los puntos de ese recinto se verifican todas las inecuaciones.
Las coordenadas de A son ( 0 , 200/3). Para calcular las de B, hay q resolver el sistema dado por s y t ->B ( 55 , 30). Las coordenadas de C son (85,0)
Pero la función que queremos optimizar, en este caso maximizar, alcanzará su valor máximo en la frontera de dicho recinto, lo anterior es muy lógico pero su demostración, excede los objetivos que me he propuesto.

Vamos a evaluar la función Z, llamada función objetivo, en cada uno de los vértices del recinto.
Recordemos Z = 7 x + 9 y

En el O ( 0,0 ) evidéntemente Z = 0
ZA= 7 . 0 + 9 . 200/3 = 600 €
ZB = 7 . 55 + 9 . 30 = 655 €
ZC = 7 . 85 + 9 . 0 = 595 €

Maximiza por lo tanto B. Hay que fabricar 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B para hacer la venta máxima.

Existe otra forma también muy usada, la de las rectas de nivel, pero creo que la anteriormente expuesta, se entiende muy bien.

ANALÓGICO Y DIGITAL

Puede parecer algo simple y sencillo, pero cuando a mis alumnos les pregunto por la diferencia entre analógico y digital, son minoría los que la conocen. Estoy hablando de alumnos de 4ºE.S.O. 1º y 2º de Bachillerato.
Leemos o escuchamos al cabo de la semana, muchísimas veces la palabra digital, pero ..¿Sabemos diferenciar analógico de digital?
Para comprender bien la diferencia, vamos a hablar antes de lo que es una variable continua y una variable discreta.
Para ello, lo mejor es que nos guiemos de unos ejemplos sencillos.
La altura de una persona, es una variable continua. Entre 170 cm y 174 cm, esa variable, puede tomar todos los valores intermedios, puede medir por ejemplo 172,5 cm. Es más, si una persona mide 173 cm., es seguro que en un momento de su vida ha medido 162,5 cm.
Una variable es continua, cuando puede tomar todos los valores dentro de un intervalo. Cuando nos referimos a todos los valores, nos estamos refiriendo a todos los nº reales que se pueden dar en ese intervalo.
Otro caso muy claro de variable continua, es el peso.
Entre 70 y 80 kg, una persona puede pesar todos los valores reales intermedios. Podemos perfectamente encontrar una persona que pese 72,250 Kg por ejemplo.
Hablemos ahora de otro tipo de variable, la variable discreta.
Para ello, nos vamos a fijar en el nº de alumnos de los distintos grupos de un curso, en un colegio. Puede ser que el grupo menos numeroso, tenga 20 alumnos y que el grupo más numeroso tenga 26 alumnos. Obviamente, no hay ningún grupo que pueda tener 23,5 alumnos.
Una variable es discreta, cuando no puede tomar todos los valores en un intervalo, en este caso el nº de alumnos es una variable discreta. Entre 20 y 26 alumnos, sólo se pueden dar, 20, 21, 22, 23, 24, 25 y 26 alumnos por grupo.
Otra variable discreta sería el nº de hijos de las familias de un bloque de piso.
Una vez entendido lo anterior, es muy fácil distinguir entre analógico y digital.
Trabajamos en forma analógica cuando podemos hacer una lectura de forma continua de la variable. Ejemplo. Un disco de vinilo ( los antiguos discos que veréis por casa ) almacena una señal de audio de forma continua. Así es, en el surco del disco se halla contenida TODA la información sobre la onda sonora.
Un CD almacena la señal de audio, de forma digital. Realmente lo que hay grabado en el CD es una lectura de la onda pero cada ciertos intervalos, aunque estos sean muy pequeños. Una vez hecha esa lectura, se codifica la señal en el sistema binario, a base de 0 y 1. Cuando escuchamos esa música, necesitamos un decodificador que haga el proceso inverso.
Las señales digitales, a diferencia de las señales analógicas, no varían de una forma continua, si no que lo hacen en pasos o incrementos discretos.
En un CD por bien que se escuche, no está grabada la onda sonora completa. Repito, lo que está grabado son lectura parciales de esa onda.
Lo que ocurre es que esas lecturas se hace cada tan poco tiempo, que sólo los oídos más entrenados y agudizados pueden distinguir la diferencia.
He conocido a personas, muy amantes de la música, que dicen distinguir perfectamente un sonido de un CD, de uno de un disco de vinilo.
No entro en las ventajas de cada uno de los sistemas, analógico y digital, sólo quiero exponer la diferencia fundamental entre ellos.
Resalto, como digo en el lateral de mi blog, que mi intención es motivar y animar a mis alumnos ( y todo aquel que entre ) divulgando aspectos matemáticos en particular y científicos en general, de una forma lo más clara y sencilla posible, no pretendo hacer un estudio exhaustivo de los temas tratados. Cada una de las personas que leen estas entradas, se interesarán por un tema u otro en concreto, en los que a través de los medios a su alcance, profundizarán como consideren oportuno.

El AZUL DEL CIELO

Alguna vez os habéis podido preguntar el motivo de que el cielo sea de color azul.
La luz que nos viene del Sol es poli-cromática, resultado de la suma de todos los colores que componen el arco iris.
Para llegar hasta nosotros, la luz que proviene de nuestra estrella, tiene que atravesar la atmósfera, en ella hay partículas y pequeñas gotitas de agua.
Sabemos que cuando la luz solar atraviesa un prisma, se produce el fenómeno de la refracción. La luz blanca se descompone en los distintos colores, debido a que cada longitud de onda (correspondientes a cada color ) tiene un distinto índice de refracción.
Se puede observar, que los colores violeta y azul son los más desviados, siendo el rojo el menos desviado.
Al atravesar la luz la atmósfera, las partículas que en ella hay, no tienen suficiente tamaño para detenerla, pero si para desviarla, produciéndose la dispersión. Las longitudes de onda corta, con mayor energía, son a las que les corresponde más dispersión, como estas longitudes corresponden a los colores violeta y azul, esos son los más desviados.
Ahora bien, el fenómeno de la dispersión, se produce una y otra vez, desviándose la luz en todas las direcciones, por eso a pesar de que la luz que nos llega, procede del Sol, nosotros, miremos en la dirección que miremos, vemos el cielo azul.
Cuando el Sol está bajo, cerca del horizonte, vemos que toma un color rojizo. Esto es debido a que cuando está en esa posición, los rayos tienen que atravesar mayor cantidad de atmosfera, eso provoca que de la luz blanca, los colores cercanos al azul en el arco iris, hayan sido dispersados en casi su totalidad, quedando sólo los tonos de mayor longitud de onda o menor energía, los correspondientes a las tonalidades del rojo.
Hemos visto que las partículas que hay en el aire, dispersan más el violeta y después el azul. Ahora bien, nosotros vemos el cielo azul, esto es debido a dos motivos principales.
Por un lado, la luz solar contiene más luz azul que violeta y por otro lado, el ojo humano es más sensible al azul que al violeta.

Si queremos profundizar más en el motivo de que el cielo sea azul, tendremos que explicar la llamada difusión de RAYLEIGH (en honor del físico inglés Lord Rayleigh que fue el primero en darle explicación)
Si las partículas que hay en la atmósfera, ya sean átomos aislados o pequeñas moléculas, son de un tamaño igual o inferior al de la longitud de onda de la luz incidente, la onda cede parte de su energía a la corteza atómica que comienza a oscilar, de manera que un primer efecto de la interacción de la luz con las partículas pequeñas del aire, es que la radiación incidente, cede parte de su energía y se debilita. Como es lógico, esta energía no se queda almacenada en el aire, pues cualquier átomo o partícula pequeña cuya corteza se agita, acaba radiando toda su energía en forma de onda electromagnética al entorno en cualquier dirección.
Rayleigh dedujo que la intensidad de la luz difundida es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda. Se produce mayor dispersión, por lo tanto, para las ondas más cortas. La violeta y la azul son las más difundidas y el rojo con mayor longitud de onda, la que menos.
Si la luz solar se encontrara con partículas de mayor tamaño, la difusión Rayleigh, no se produciría y lo que ocurriría es la llamada difusión de Mie.
Si es la difusión de Mie la que se produce de forma masiva, la luz solar perdería su color blanco, tornándose más gris. Esto es lo que sucede en los días muy nublados, cuando las nubes son gruesas, el cielo se ve gris, a veces ese gris se hace casi negro.

LAS FRACTALES

Las fractales son objetos geométricos que tienen una propiedad, la AUTOSIMILITUD.
SU FORMA, SE MANTIENE CON INDEPENDENCIA DE LA ESCALA A LA QUE SE OBSERVE.
El nombre de fractal se lo dio B. Mandelbrot en 1975. En latín, fractus significa fracturado o quebrado.
Se definen estos objetos, mediante un algoritmo ( la mayor parte de las veces, muy simple ) recursivo o iterativo.

En la primera imagen, la fractal de Sierpinski, se ve muy bien como está construida.
La segunda imagen, nos muestra la fractal de Mandelbrot, posiblemente la más conocida.
La tercera y última imagen, es un caso muy claro de cómo las fractales, también se dan en la naturaleza. La fotografía corresponde a un tipo de brócoli, que en algunos lugares le llaman romanescu.

En mi Wiki-Espacio, en el apartado de "varios", he incluido un programa para dibujar fractales. Muy sencillo, práctico y útil. Tanto ese programa como el video cuyo enlace adjunto, se lo debemos a Alberto Rodríguez Santos, desde aquí mi más sincero agradecimiento.

Aconsejo ver este video, además de un claro ejemplo de la autosimilitud en las fractales, tiene una gran belleza.

Alta resolución

http://www.epsilones.com/imagenes/fractales/mandel-b.wmv

Si no puedes ver el video mediante el enlace anterior, prueba el siguiente, es con menos resolución pero tarda menos en cargarse.

http://www.epsilones.com/imagenes/fractales/mandel-m.wmv

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras de Samos, nació en Jonia, en la isla de Samos hacia el 572 a de C.

Fue el fundador de la Escuela Pitagórica. Sus dos ideas fundamentales son:

- La transmigración de las almas.

Según esta teoría, las almas pasan de cuerpo en cuerpo, reencarnándose en sucesivas vidas.

- Los números son el principio de todas las cosas.

El famoso teorema que lleva su nombre es seguro que aunque se le atribuya a él, no fuera él quien lo descubriera. Dice, como bien sabéis, que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Geométricamente esto quiere decir, que si levantamos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, un cuadrado de lado esa hipotenusa, el área de ese cuadrado, es igual, a la suma de las áreas de los cuadrados levantados sobre cada cateto.

LO CURIOSO DE ESTE TEOREMA Y QUE NO ES TAN CONOCIDO, ES QUE ESE ENUNCIADO ES UNA PARTICULARIZACIÓN DE UN TEOREMA MÁS AMPLIO.
EN REALIDAD, SI CONSTRUIMOS CUALQUIER POLÍGONO REGULAR DE LADO LA LONGITUD DE LA HIPOTENUSA, EL ÁREA DE DICHO POLÍGONO, ES LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS POLÍGONOS REGULARES ( DE IGUAL NÚMERO DE LADOS, OBVIAMENTE ) CONSTRUIDOS CON LADOS IGUALES A LA LONGITUD DE LOS CATETOS

DIOS NO JUEGA A LOS DADOS

¿ Has escuchado alguna vez esa frase ?

Esas palabras las dijo Albert Einstein ( Nobel de Física 1921 )

El Principio de Incertidumbre de Heisenberg ( Nobel de Física 1932 ), fundamental para la Mecánica Cuántica, dice que es imposible determinar simultáneamente, la posición de una partícula y su momento lineal o cantidad de movimiento ( m.v ). Quiere ésto decir, que si medimos con exactitud la velocidad de una partícula, no podremos determinar la posición en ese instante, nos deberemos conformar con calcular la probabilidad de que se encuentre en tal o cual posición. De ahí la frase de Einstein, " DIOS NO JUEGA A LOS DADOS"

A esta frase, Niels Bohr ( Nobel de Física 1922 ), con quien Einstein mantuvo una gran polémica por ese tema, muy famosa en el mundo de la ciencia, contestó, " Sr. Einstein, ¡ deje de decirle a Dios lo que debe hacer ! "

En las fotos. Albert Einstein y Niel Bohr

Aclaración. Un alumno me ha pedido que le explicara la relación entre lo anterior ( el Principio de Incertidumbre ) y la frase de Einstein, no lo veia claro.

Einstein no estaba de acuerdo con esa indeterminación en el Universo, de ahí las polémicas con Bohr, no estaba de acuerdo en que una vez determinada la velocidad, sólo se pudiera hablar de PROBABILIDAD y no certeza, en cuanto a la posición en ese instante de la partícula, de ahi la frase.

Los dados representan el azar, lo contrario a la determinación, a la certeza.