El AZUL DEL CIELO

Alguna vez os habéis podido preguntar el motivo de que el cielo sea de color azul.
La luz que nos viene del Sol es poli-cromática, resultado de la suma de todos los colores que componen el arco iris.
Para llegar hasta nosotros, la luz que proviene de nuestra estrella, tiene que atravesar la atmósfera, en ella hay partículas y pequeñas gotitas de agua.
Sabemos que cuando la luz solar atraviesa un prisma, se produce el fenómeno de la refracción. La luz blanca se descompone en los distintos colores, debido a que cada longitud de onda (correspondientes a cada color ) tiene un distinto índice de refracción.
Se puede observar, que los colores violeta y azul son los más desviados, siendo el rojo el menos desviado.
Al atravesar la luz la atmósfera, las partículas que en ella hay, no tienen suficiente tamaño para detenerla, pero si para desviarla, produciéndose la dispersión. Las longitudes de onda corta, con mayor energía, son a las que les corresponde más dispersión, como estas longitudes corresponden a los colores violeta y azul, esos son los más desviados.
Ahora bien, el fenómeno de la dispersión, se produce una y otra vez, desviándose la luz en todas las direcciones, por eso a pesar de que la luz que nos llega, procede del Sol, nosotros, miremos en la dirección que miremos, vemos el cielo azul.
Cuando el Sol está bajo, cerca del horizonte, vemos que toma un color rojizo. Esto es debido a que cuando está en esa posición, los rayos tienen que atravesar mayor cantidad de atmosfera, eso provoca que de la luz blanca, los colores cercanos al azul en el arco iris, hayan sido dispersados en casi su totalidad, quedando sólo los tonos de mayor longitud de onda o menor energía, los correspondientes a las tonalidades del rojo.
Hemos visto que las partículas que hay en el aire, dispersan más el violeta y después el azul. Ahora bien, nosotros vemos el cielo azul, esto es debido a dos motivos principales.
Por un lado, la luz solar contiene más luz azul que violeta y por otro lado, el ojo humano es más sensible al azul que al violeta.

Si queremos profundizar más en el motivo de que el cielo sea azul, tendremos que explicar la llamada difusión de RAYLEIGH (en honor del físico inglés Lord Rayleigh que fue el primero en darle explicación)
Si las partículas que hay en la atmósfera, ya sean átomos aislados o pequeñas moléculas, son de un tamaño igual o inferior al de la longitud de onda de la luz incidente, la onda cede parte de su energía a la corteza atómica que comienza a oscilar, de manera que un primer efecto de la interacción de la luz con las partículas pequeñas del aire, es que la radiación incidente, cede parte de su energía y se debilita. Como es lógico, esta energía no se queda almacenada en el aire, pues cualquier átomo o partícula pequeña cuya corteza se agita, acaba radiando toda su energía en forma de onda electromagnética al entorno en cualquier dirección.
Rayleigh dedujo que la intensidad de la luz difundida es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda. Se produce mayor dispersión, por lo tanto, para las ondas más cortas. La violeta y la azul son las más difundidas y el rojo con mayor longitud de onda, la que menos.
Si la luz solar se encontrara con partículas de mayor tamaño, la difusión Rayleigh, no se produciría y lo que ocurriría es la llamada difusión de Mie.
Si es la difusión de Mie la que se produce de forma masiva, la luz solar perdería su color blanco, tornándose más gris. Esto es lo que sucede en los días muy nublados, cuando las nubes son gruesas, el cielo se ve gris, a veces ese gris se hace casi negro.

LAS FRACTALES

Las fractales son objetos geométricos que tienen una propiedad, la AUTOSIMILITUD.
SU FORMA, SE MANTIENE CON INDEPENDENCIA DE LA ESCALA A LA QUE SE OBSERVE.
El nombre de fractal se lo dio B. Mandelbrot en 1975. En latín, fractus significa fracturado o quebrado.
Se definen estos objetos, mediante un algoritmo ( la mayor parte de las veces, muy simple ) recursivo o iterativo.

En la primera imagen, la fractal de Sierpinski, se ve muy bien como está construida.
La segunda imagen, nos muestra la fractal de Mandelbrot, posiblemente la más conocida.
La tercera y última imagen, es un caso muy claro de cómo las fractales, también se dan en la naturaleza. La fotografía corresponde a un tipo de brócoli, que en algunos lugares le llaman romanescu.

En mi Wiki-Espacio, en el apartado de "varios", he incluido un programa para dibujar fractales. Muy sencillo, práctico y útil. Tanto ese programa como el video cuyo enlace adjunto, se lo debemos a Alberto Rodríguez Santos, desde aquí mi más sincero agradecimiento.

Aconsejo ver este video, además de un claro ejemplo de la autosimilitud en las fractales, tiene una gran belleza.

Alta resolución

http://www.epsilones.com/imagenes/fractales/mandel-b.wmv

Si no puedes ver el video mediante el enlace anterior, prueba el siguiente, es con menos resolución pero tarda menos en cargarse.

http://www.epsilones.com/imagenes/fractales/mandel-m.wmv

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras de Samos, nació en Jonia, en la isla de Samos hacia el 572 a de C.

Fue el fundador de la Escuela Pitagórica. Sus dos ideas fundamentales son:

- La transmigración de las almas.

Según esta teoría, las almas pasan de cuerpo en cuerpo, reencarnándose en sucesivas vidas.

- Los números son el principio de todas las cosas.

El famoso teorema que lleva su nombre es seguro que aunque se le atribuya a él, no fuera él quien lo descubriera. Dice, como bien sabéis, que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Geométricamente esto quiere decir, que si levantamos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, un cuadrado de lado esa hipotenusa, el área de ese cuadrado, es igual, a la suma de las áreas de los cuadrados levantados sobre cada cateto.

LO CURIOSO DE ESTE TEOREMA Y QUE NO ES TAN CONOCIDO, ES QUE ESE ENUNCIADO ES UNA PARTICULARIZACIÓN DE UN TEOREMA MÁS AMPLIO.
EN REALIDAD, SI CONSTRUIMOS CUALQUIER POLÍGONO REGULAR DE LADO LA LONGITUD DE LA HIPOTENUSA, EL ÁREA DE DICHO POLÍGONO, ES LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS POLÍGONOS REGULARES ( DE IGUAL NÚMERO DE LADOS, OBVIAMENTE ) CONSTRUIDOS CON LADOS IGUALES A LA LONGITUD DE LOS CATETOS

DIOS NO JUEGA A LOS DADOS

¿ Has escuchado alguna vez esa frase ?

Esas palabras las dijo Albert Einstein ( Nobel de Física 1921 )

El Principio de Incertidumbre de Heisenberg ( Nobel de Física 1932 ), fundamental para la Mecánica Cuántica, dice que es imposible determinar simultáneamente, la posición de una partícula y su momento lineal o cantidad de movimiento ( m.v ). Quiere ésto decir, que si medimos con exactitud la velocidad de una partícula, no podremos determinar la posición en ese instante, nos deberemos conformar con calcular la probabilidad de que se encuentre en tal o cual posición. De ahí la frase de Einstein, " DIOS NO JUEGA A LOS DADOS"

A esta frase, Niels Bohr ( Nobel de Física 1922 ), con quien Einstein mantuvo una gran polémica por ese tema, muy famosa en el mundo de la ciencia, contestó, " Sr. Einstein, ¡ deje de decirle a Dios lo que debe hacer ! "

En las fotos. Albert Einstein y Niel Bohr

Aclaración. Un alumno me ha pedido que le explicara la relación entre lo anterior ( el Principio de Incertidumbre ) y la frase de Einstein, no lo veia claro.

Einstein no estaba de acuerdo con esa indeterminación en el Universo, de ahí las polémicas con Bohr, no estaba de acuerdo en que una vez determinada la velocidad, sólo se pudiera hablar de PROBABILIDAD y no certeza, en cuanto a la posición en ese instante de la partícula, de ahi la frase.

Los dados representan el azar, lo contrario a la determinación, a la certeza.

El efecto mariposa

Es muy probable que hayas oido hablar del "efecto mariposa" ¿Sabes a que se refiere dicho efecto?

En los sistemas caóticos, como el que rige el tiempo atmosférico, en el que intervienen muchas variables, una pequeña variación de las variables que forman las ecuaciones, tiene como consecuencia una gran variación en el resultado . Por eso se dice .. que el aleteo de una mariposa en Hong-Kong (es decir, una perturbación muy pequeña) puede hacer que esta tarde llueva en Londres.

¿ De dónde viene el nombre del famoso GOOGLE ?

Según parece el nombre de la famosa empresa Google principal adversario de Microsoft, viene de su similitud con Googol. Un Googol es un número tremendamente grande, 10 elevado a 100.

Un Googol es por lo tanto un 1 seguido de 100 ceros.

Para haceros una idea, todas las partículas que componen el universo conocido, no llegan a 10 elevado a 80.

La proporción Áurea Phi

- Nº de hembras / machos de una colmena = Phi

- Razón entre los diámetros de cada tramo en un Nautilos = Phi ( figura )

- Razón entre los diámetros de cada circulo en el girasol = Phi

- Altura de un hombre / distancia desde ombligo al suelo = Phi

- Distancia cadera suelo / distancia rodilla suelo = Phi

- Distancia hombro punta dedos / distancia codo dedos = Phi

- Dimensiones arquitectónicas del Partenón = Phi

- Pirámides de Egipto = Phi

- Sonatas de Mozart, La Quinta Sinfonía de Beethoven, trabajos de Debussy y Schubert

- Miguel Ángel, Durero, Leonardo da Vinci y muchos otros.

- Stradivarius lo empleaba para ubicar los oídos o efes.

- Pentagrama. En él sus líneas se cortan siguiendo la proporción áurea.

 

        

  (a+b) /a = a /b   Segmento total a+b es a a como a es a b = Phi

Rojo/Azul=Azul/Verde=/Verde/Morado = Phi

 Phi =  ( 1+raiz de 5) /2= 1´6180....

Phi = 1´61803....

 

Sucesión de Fibonacci 

  1,1,2,3,5,8,13,21, 34 

Según aumentan los términos de la  sucesión, si dividimos un término entre el inmediato anterior vamos obteniendo un número cada vez más aproximado a Phi.

 

Interesante video sobre Phi y

La sucesión de Fibonacci

 

http://es.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc

Despues de ver ese video..

¿ No te infunden un tremendo respeto las Matemáticas?

¿ No te gustan un poco más..?

Pues eso es sólo una pequeña parte.....

 

MATRICES

DEFINICION.-Definimos matriz como un conjunto de números reales ordenados en filas y columnas.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₁ a₂₂

Designaremos la matriz entre parentesis y sus elementos con una letra con dos subindices, el primero para las filas y el segundo para las columnas.

(a_ij) Matriz de i filas y j columnas.

a_ij Elemento que ocupa en la matriz la fila i y la columna j.

DIMENSION de una matriz es el pruducto indicado de filas por columnas. Ej.- Matriz de dimensión 2X3

Cuando tienen el mismo nº de filas que de columnas, llamaremos orden de la matriz al nº de filas ó columnas.

TIPOS DE MATRICES (1).

-Rectangulares.- M. que tienen distinto nº de filas que de columnas.

-Cuadradas.- M. con igual nº de filas que de columnas.

-M.Columna.- M. rectangular de dimensión nx1.

-M.Fila.- M. rectanngular de dimensión 1xm.

-M.Nula.- M. que tiene todos sus elementos nulos.

DIAGONAL DE UNA MATRIZ CUADRADA.-

-DIAGONAL PRINCIPAL es el conjunto de elementos a_ij / i=j

-DIAGONAL SECUNDARIA es el conjunto de elementos a_ij / i+j=n+1

n=orden de M.

TIPOS DE MATRICES (2)

-M. Diagonal.- Es una M. cuadrada que tiene nulos todos los elementos, excepto los de la diagonal principal.

Ej.

.

.

-M. Escalar.- Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales.

-M. Unidad.- Es la matriz escalar cuyos elementos distintos de 0 son iguales a 1.

-M. Triangular- Es la matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal nulos.

Ej.

.

.

OPERACIONES CON MATRICES

IGUALDAD DE MATRICES.-Dadas dos M. de la misma dimensión, diremos que ambas son iguales cuando lo son sus elementos correspondientes.

(a_ij) = (b_ij) == i=j Vi,Vj

SUMA DE MATRICES.-En el cunjunto de las matrices rectangulares de dim. nxm , se define una ley de composición interna llamada suma de matrices como la siguiente aplicación:

M_nxm x M_nxm ----- M_nxm

((a_ij) , (b_ij))----- (a_ij)+(b_ij) = (a_ij+b_ij)

Es decir , a cada par de matrices rectangulares de dim. nxm, le hacemos corresponder otra matriz de la misma dim. cuyo elementos se obtienen sumando termino a termino los elementos correspondientes a cada matriz .

Ej.

.

.

.

PROPIEDADES de la suma de matrices.

-Conmutativa.-

(a_ij) + (b_ij) = (b_ij)+(a_ij)

-Asociativa.-

[(a_ij)+(b_ij)]+(c_ij)=(a_ij)+[(b_ij)+(c_ij)]

-Ele.Neutro.-

(a_ij)+(0)=(a_ij)

-Ele.Opuesto.-La M. opuesta de una dada es la que resulta de sustituir en la M. dada, cada elemento por su opuesto.

La M. opuesta actua como elemento opuesto en la suma de matrices. (a_ij)+(b_ij)=0

Todas estas propiedades son consecuencia de la definición de suma de matrices y de las correspondientes propiedades de los números reales. Como consecuencia de todas estas propiedades el conjunto de las matrices M_mxn respecto a la operación suma, tiene estructura de Grupo Abeliano.

PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ.

En el conjunto M_mxn se define la ley de composición externa denominada producto de un número real por una matriz como la siguiente aplicación:

R x M_mxn -----------M_mxn

(t ,(a_ij)) -----------t.(a_ij)=(t.a_ij)

Es decir el producto de un número real por una matriz rectangular de dim. mxn, es otra matriz de la misma dim. cuyos elementos se obtienen multiplicando dicho número por todos los elementos de la matriz dada.

PROPIEDADES.

-Distributiva mixta del producto de un número real, respecto a la suma de matrices. t.[(a_ij)+(b_ij)]=t.(a_ij)+t.(b_ij)

-Distributiva mixta del producto de una matriz respecto a la suma de números reales. (a_ij).(t+p)=t.(a_ij)+p.(a_ij)

-Asociativa mixta. (t.p)[(a_ij)]=t.[p.(a_ij)]

-Elemento neutro para la ley externa. Elemento unidad.

1.(a_ij)=(a_ij).1=(a_ij)

EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES RECTANGULARES.

Por lo visto anteriormente, el cunjunto de las matrices rectangulares de dim. nxm respecto de la ley externa, producto de un número real por una matriz y respecto a la ley de composición interna, suma de matrices, tiene estructura de espacio vectorial sobre R.

( M_nxm,+,.R)-----Espacio vectorial.

PRODUCTO DE MATRICES.

En el conjunto M_nxm, en el conjunto M_mxp y en el conjunto M_nxp, se llama pruducto de matrices a la siguiente aplicación.

M_nxm x M_mxp ----------- M_nxp

((a_ij),(b_jk))------------- (a_ij).(b_jk)= a_ij.b_jk=c_ik

Es decir, los elementos de la matriz producto se obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar, los elementos de la fila que ocupa el lugar i de la matriz (a_ij) por los elementos de la columna que ocupa el lugar k de la matriz (b_jk).

Observemos que para multiplicar matrices, el número de columnas del primer factor ha de ser igual al número de filas de la matriz que actua como segundo factor.

La dimensión de la matriz producto es nxp siendo:

n=Número de filas de la 1ª matriz

p=Número de columnas de la 2ª matriz

Ejemplos.:

.

.

.

.

.

Ejemplos.:

EN EL CONJUNTO DE LAS MATRICES CUADRADAS de orden n

se cumplen las siguientes propiedades del producto de matrices.

-Asociativa. [(a_ij).(b_jk)].(c_kr)=(a_ij).[(bjk).(c_kr)]

-Elem. neutro. La matriz unidad, actua como elem. neutro del

producto de matrices.

PROPIEDAD distributiva del producto respecto de la suma.

(a_ij).[(b_jk)+(c_jk)]=(a_ij).(b_jk)+(a_ij).(c_jk)

-IMPORTANTE.: El producto de matrices no es conmutativo.

EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS.

Por todo lo dicho anteriormente podemos asegurar que el conjunto de las matrices de orden n con respecto a las dos leyes internas, suma y producto de matrices tiene estructura de anillo unitario no conmutativo.

( Mn,+,.)---Anillo unitario.

TRASPOSICION DE MATRICES.

Sean M_nxm y M_mxn, el conjunto de todas las matrices de dim. nxm y mxn respectivamente. Se llama trasposición de matrices a toda aplicación:

M_nxm-----------M_nxm

(a_ij)----------(a_ij)^t=(a_ji)

Es decir, dicha aplicación asocia a cada matriz de dim nxm, otra matriz de dim mxn, que se obtiene convirtiendo las filas en columnas sin alterar su orden.

Ejemplo.

.

.

.

.

.

TIPOS DE MATRICES.

-Matriz simétrica es aquella matriz que coincide con su traspuesta. Ej.:

.

.

.

-Matriz antisimétrica es aquella matriz que su opuesta coincide con su traspuesta. Ej.:

.

.

.

-Mariz ortogonal es aquella matriz cuadrada que cumple que el producto por su traspuesta es igual a la matriz unidad.

Ej.:

senx -cosx

cosx senx

DETERMINANTES

DEFINICIÓN DE DETERMINANTE

Sea M_n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n y R el conjunto de los números reales. Se llama determinante de la matriz cuadrada a la aplicación que asocia a cada matriz A, el número real IAI que se llama determinante de A.

M_n---------R

A ---------IAI

El número real IAI se obtiene como la suma de todos los productos de n factores, cada uno de los cuales contiene un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna, anteponiéndole el signo + o - según las dos permutaciones formadas por los subíndices que indican las filas y las columnas de los n factores, sean de igual clase o distinta.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ =

a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃

DETERMINANTE DE 2º Y 3º ORDEN. REGLA DE SARRUS

Para calcular un determinante de segundo orden, calculamos el producto de la diagonal principal y le restamos el producto de la diagonal secundaria.

DETERMINANTES DE TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS.

MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO.

Sea un determinante de orden n, y a_ij un elemento cualquiera. Se llama menor complementario de a_ij al determinante de orden n-1 que resulta de suprimir en el determinante dado la fila i-ésima y la columna j-ésima, es decir, la fila y la columna donde se encuentra el elemento.

El menor complementario de a_ij se representa _ij

Se llama adjunto del elemento a_ij al menor complementario de dicho elemento, anteponiendo el signo + o - según que la suma de los subíndices i+j sea par o impar.

El adjunto del elemento a_ij se designa por A_ij

A₂₃=

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA.

Emplearemos el termino línea, para asignar indistintamente a una fila o a una columna.

El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

1.: El valor de un determinante no varia si en él se cambian filas por columnas o viceversa, siempre que se mantenga el orden.

.

2.: Si en un determinante, se cambian entre si dos líneas paralelas, el valor absoluto de dicho determinante no cambia pero si el signo.

.

3.: Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, vale cero.

.

4.: Si un determinante tiene todos los elementos de una línea iguales a cero, vale cero.

.

5.: Si se multiplican los elementos de una línea por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

.

6.: Si los elementos de dos líneas paralelas son proporcionales, el determinante vale cero.

.

7..La suma de los elementos de una línea, por los adjuntos de una línea paralela es igual a cero.

.

8.: Si todos los elementos de una línea de un determinante, están formados por la suma de dos sumando, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes, que tienen los mismos elementos que el determinante dado, excepto los correspondientes a aquella línea, que esta formada por los primeros sumando en el primer determinante y por los segundos sumando, en el segundo.

.

9.: Si los elementos de una línea, son combinación lineal de los de las otras líneas, el valor del determinante es cero.

.

10.: Si a los elementos de una línea se les suma los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un número, el determinante no varia.

.

11.: | A.B | = |A|.|B|

.

12.: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

REGLA DE CHIO.

Si no existe ningún elemento igual a la unidad en el determinante, buscaremos la forma de que al restar dos líneas o que al restar a una línea otra multiplicada por un número obtengamos un uno.

A partir de ese uno y por las propiedades de los determinantes, vamos obteniendo ceros en el determinante, logrando al final que todos los elementos de una línea sean cero excepto el elemento que es igual a uno.

Desarrollando el determinante por los adjuntos de esa línea, obtenemos un determinante de orden una unidad menos que del que partimos.

Haciendo las operaciones anteriores, las veces que sean necesarias, llegaremos a un determinante de tercer o incluso de segundo orden, que resolveremos como ya sabemos.

MATRICES ASOCIADAS A UNA MATRIZ CUADRADA, MATRIZ INVERSA.

Se llama MATRIZ REGULAR, a toda matriz cuadrada cuyo determinante es distinto de cero.

A las matrices cuadradas de determinantes nulos se les llama MATRICES SINGULARES.

Se llama MATRIZ ADJUNTA de una matriz cuadrada A, a la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de la matriz A. A la matriz adjunta de A, se le llama A^d.

Se llama MATRIZ INVERSA de una matriz regular A, a otra matriz B, del mismo orden tal que A.B=B.A=I(M.unidad)

La matriz inversa de A se representa por A^-1 y coincide con la matriz traspuesta de la adjunta de A, dividida por el valor del determinante.

A^-1 = (A^d)^t / |A|

RANGO DE UNA MATRIZ.

Sea A una matriz rectangular de dimensión nxm. Se llama menor de orden h, al determinante de una matriz cuadrada cualquiera de orden h, que está formado por los elementos que pertenecen a h filas y h columnas. Estos menores se obtienen suprimiendo de todas las formas posibles n-h filas y m-h columnas.

Se llama RANGO DE UNA MATRIZ A, al orden h de un menor no nulo, siempre que todos los menores de orden superior a h sean nulos.

El rango de una matriz formada por las componentes de un conjunto de vectores, nos da el número de vectores de ese conjunto que son linealmente independientes.

MÉTODO DE ORLAR, PARA EL CÁLCULO DE RANGOS.

Si a partir de un menor de orden n distinto de cero,

todos los menores de orden n+1 que se pueden formar con los elementos del anterior menor, orlando los elementos de la matriz son cero el rango es n.

PROPIEDADES DEL RANGO DE UNA MATRIZ.

• El rango es único

• Si una línea tiene nulos todos sus elementos, se puede suprimir para calcular el rango.

• Si una linea es proporcional a otra, se puede suprimir para calcular el rango.

• si una linea es combinación lineal de otras, se puede suprimir para calcular el rango.

PERMUTACIONES U ORDENACIONES.

Llamamos permutaciones u ordenaciones de n, a los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, entrando en cada grupo los n elementos, distinguiendose un grupo de otro por el orden de los elementos.

Pn=n!=n(n-1)(n-2)....1

PERMUTACIÓN PRINCIPAL.

Si no se designa previamente llamaremos permutación principal, a la que tiene sus elementos en el orden natural.

PERMANENCIA E INVERSIÓN.

Decimos que dos elementos en una permutación están en permanencia cuando prescindiendo de los demas están en el mismo orden que en la permutación principal. En caso contrario están en inversión.

El número de inversiones se designa a.

CLASE PAR O IMPAR.

Si una permutación presenta en total un número par de inversiones decimos que es de clase par.

TRASPOSICIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA PERMUTACIÓN.

Si en una permutación se trasponen dos elementos de la permutación, la permutación cambia de clase. (De par a impar o viceversa)