MATRICES

DEFINICION.-Definimos matriz como un conjunto de números reales ordenados en filas y columnas.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₁ a₂₂

Designaremos la matriz entre parentesis y sus elementos con una letra con dos subindices, el primero para las filas y el segundo para las columnas.

(a_ij) Matriz de i filas y j columnas.

a_ij Elemento que ocupa en la matriz la fila i y la columna j.

DIMENSION de una matriz es el pruducto indicado de filas por columnas. Ej.- Matriz de dimensión 2X3

Cuando tienen el mismo nº de filas que de columnas, llamaremos orden de la matriz al nº de filas ó columnas.

TIPOS DE MATRICES (1).

-Rectangulares.- M. que tienen distinto nº de filas que de columnas.

-Cuadradas.- M. con igual nº de filas que de columnas.

-M.Columna.- M. rectangular de dimensión nx1.

-M.Fila.- M. rectanngular de dimensión 1xm.

-M.Nula.- M. que tiene todos sus elementos nulos.

DIAGONAL DE UNA MATRIZ CUADRADA.-

-DIAGONAL PRINCIPAL es el conjunto de elementos a_ij / i=j

-DIAGONAL SECUNDARIA es el conjunto de elementos a_ij / i+j=n+1

n=orden de M.

TIPOS DE MATRICES (2)

-M. Diagonal.- Es una M. cuadrada que tiene nulos todos los elementos, excepto los de la diagonal principal.

Ej.

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-M. Escalar.- Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales.

-M. Unidad.- Es la matriz escalar cuyos elementos distintos de 0 son iguales a 1.

-M. Triangular- Es la matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal nulos.

Ej.

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OPERACIONES CON MATRICES

IGUALDAD DE MATRICES.-Dadas dos M. de la misma dimensión, diremos que ambas son iguales cuando lo son sus elementos correspondientes.

(a_ij) = (b_ij) == i=j Vi,Vj

SUMA DE MATRICES.-En el cunjunto de las matrices rectangulares de dim. nxm , se define una ley de composición interna llamada suma de matrices como la siguiente aplicación:

M_nxm x M_nxm ----- M_nxm

((a_ij) , (b_ij))----- (a_ij)+(b_ij) = (a_ij+b_ij)

Es decir , a cada par de matrices rectangulares de dim. nxm, le hacemos corresponder otra matriz de la misma dim. cuyo elementos se obtienen sumando termino a termino los elementos correspondientes a cada matriz .

Ej.

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PROPIEDADES de la suma de matrices.

-Conmutativa.-

(a_ij) + (b_ij) = (b_ij)+(a_ij)

-Asociativa.-

[(a_ij)+(b_ij)]+(c_ij)=(a_ij)+[(b_ij)+(c_ij)]

-Ele.Neutro.-

(a_ij)+(0)=(a_ij)

-Ele.Opuesto.-La M. opuesta de una dada es la que resulta de sustituir en la M. dada, cada elemento por su opuesto.

La M. opuesta actua como elemento opuesto en la suma de matrices. (a_ij)+(b_ij)=0

Todas estas propiedades son consecuencia de la definición de suma de matrices y de las correspondientes propiedades de los números reales. Como consecuencia de todas estas propiedades el conjunto de las matrices M_mxn respecto a la operación suma, tiene estructura de Grupo Abeliano.

PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ.

En el conjunto M_mxn se define la ley de composición externa denominada producto de un número real por una matriz como la siguiente aplicación:

R x M_mxn -----------M_mxn

(t ,(a_ij)) -----------t.(a_ij)=(t.a_ij)

Es decir el producto de un número real por una matriz rectangular de dim. mxn, es otra matriz de la misma dim. cuyos elementos se obtienen multiplicando dicho número por todos los elementos de la matriz dada.

PROPIEDADES.

-Distributiva mixta del producto de un número real, respecto a la suma de matrices. t.[(a_ij)+(b_ij)]=t.(a_ij)+t.(b_ij)

-Distributiva mixta del producto de una matriz respecto a la suma de números reales. (a_ij).(t+p)=t.(a_ij)+p.(a_ij)

-Asociativa mixta. (t.p)[(a_ij)]=t.[p.(a_ij)]

-Elemento neutro para la ley externa. Elemento unidad.

1.(a_ij)=(a_ij).1=(a_ij)

EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES RECTANGULARES.

Por lo visto anteriormente, el cunjunto de las matrices rectangulares de dim. nxm respecto de la ley externa, producto de un número real por una matriz y respecto a la ley de composición interna, suma de matrices, tiene estructura de espacio vectorial sobre R.

( M_nxm,+,.R)-----Espacio vectorial.

PRODUCTO DE MATRICES.

En el conjunto M_nxm, en el conjunto M_mxp y en el conjunto M_nxp, se llama pruducto de matrices a la siguiente aplicación.

M_nxm x M_mxp ----------- M_nxp

((a_ij),(b_jk))------------- (a_ij).(b_jk)= a_ij.b_jk=c_ik

Es decir, los elementos de la matriz producto se obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar, los elementos de la fila que ocupa el lugar i de la matriz (a_ij) por los elementos de la columna que ocupa el lugar k de la matriz (b_jk).

Observemos que para multiplicar matrices, el número de columnas del primer factor ha de ser igual al número de filas de la matriz que actua como segundo factor.

La dimensión de la matriz producto es nxp siendo:

n=Número de filas de la 1ª matriz

p=Número de columnas de la 2ª matriz

Ejemplos.:

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Ejemplos.:

EN EL CONJUNTO DE LAS MATRICES CUADRADAS de orden n

se cumplen las siguientes propiedades del producto de matrices.

-Asociativa. [(a_ij).(b_jk)].(c_kr)=(a_ij).[(bjk).(c_kr)]

-Elem. neutro. La matriz unidad, actua como elem. neutro del

producto de matrices.

PROPIEDAD distributiva del producto respecto de la suma.

(a_ij).[(b_jk)+(c_jk)]=(a_ij).(b_jk)+(a_ij).(c_jk)

-IMPORTANTE.: El producto de matrices no es conmutativo.

EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS.

Por todo lo dicho anteriormente podemos asegurar que el conjunto de las matrices de orden n con respecto a las dos leyes internas, suma y producto de matrices tiene estructura de anillo unitario no conmutativo.

( Mn,+,.)---Anillo unitario.

TRASPOSICION DE MATRICES.

Sean M_nxm y M_mxn, el conjunto de todas las matrices de dim. nxm y mxn respectivamente. Se llama trasposición de matrices a toda aplicación:

M_nxm-----------M_nxm

(a_ij)----------(a_ij)^t=(a_ji)

Es decir, dicha aplicación asocia a cada matriz de dim nxm, otra matriz de dim mxn, que se obtiene convirtiendo las filas en columnas sin alterar su orden.

Ejemplo.

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TIPOS DE MATRICES.

-Matriz simétrica es aquella matriz que coincide con su traspuesta. Ej.:

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-Matriz antisimétrica es aquella matriz que su opuesta coincide con su traspuesta. Ej.:

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-Mariz ortogonal es aquella matriz cuadrada que cumple que el producto por su traspuesta es igual a la matriz unidad.

Ej.:

senx -cosx

cosx senx

DETERMINANTES

DEFINICIÓN DE DETERMINANTE

Sea M_n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n y R el conjunto de los números reales. Se llama determinante de la matriz cuadrada a la aplicación que asocia a cada matriz A, el número real IAI que se llama determinante de A.

M_n---------R

A ---------IAI

El número real IAI se obtiene como la suma de todos los productos de n factores, cada uno de los cuales contiene un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna, anteponiéndole el signo + o - según las dos permutaciones formadas por los subíndices que indican las filas y las columnas de los n factores, sean de igual clase o distinta.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ =

a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃

DETERMINANTE DE 2º Y 3º ORDEN. REGLA DE SARRUS

Para calcular un determinante de segundo orden, calculamos el producto de la diagonal principal y le restamos el producto de la diagonal secundaria.

DETERMINANTES DE TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS.

MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO.

Sea un determinante de orden n, y a_ij un elemento cualquiera. Se llama menor complementario de a_ij al determinante de orden n-1 que resulta de suprimir en el determinante dado la fila i-ésima y la columna j-ésima, es decir, la fila y la columna donde se encuentra el elemento.

El menor complementario de a_ij se representa _ij

Se llama adjunto del elemento a_ij al menor complementario de dicho elemento, anteponiendo el signo + o - según que la suma de los subíndices i+j sea par o impar.

El adjunto del elemento a_ij se designa por A_ij

A₂₃=

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA.

Emplearemos el termino línea, para asignar indistintamente a una fila o a una columna.

El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

1.: El valor de un determinante no varia si en él se cambian filas por columnas o viceversa, siempre que se mantenga el orden.

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2.: Si en un determinante, se cambian entre si dos líneas paralelas, el valor absoluto de dicho determinante no cambia pero si el signo.

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3.: Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, vale cero.

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4.: Si un determinante tiene todos los elementos de una línea iguales a cero, vale cero.

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5.: Si se multiplican los elementos de una línea por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

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6.: Si los elementos de dos líneas paralelas son proporcionales, el determinante vale cero.

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7..La suma de los elementos de una línea, por los adjuntos de una línea paralela es igual a cero.

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8.: Si todos los elementos de una línea de un determinante, están formados por la suma de dos sumando, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes, que tienen los mismos elementos que el determinante dado, excepto los correspondientes a aquella línea, que esta formada por los primeros sumando en el primer determinante y por los segundos sumando, en el segundo.

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9.: Si los elementos de una línea, son combinación lineal de los de las otras líneas, el valor del determinante es cero.

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10.: Si a los elementos de una línea se les suma los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un número, el determinante no varia.

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11.: | A.B | = |A|.|B|

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12.: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

REGLA DE CHIO.

Si no existe ningún elemento igual a la unidad en el determinante, buscaremos la forma de que al restar dos líneas o que al restar a una línea otra multiplicada por un número obtengamos un uno.

A partir de ese uno y por las propiedades de los determinantes, vamos obteniendo ceros en el determinante, logrando al final que todos los elementos de una línea sean cero excepto el elemento que es igual a uno.

Desarrollando el determinante por los adjuntos de esa línea, obtenemos un determinante de orden una unidad menos que del que partimos.

Haciendo las operaciones anteriores, las veces que sean necesarias, llegaremos a un determinante de tercer o incluso de segundo orden, que resolveremos como ya sabemos.

MATRICES ASOCIADAS A UNA MATRIZ CUADRADA, MATRIZ INVERSA.

Se llama MATRIZ REGULAR, a toda matriz cuadrada cuyo determinante es distinto de cero.

A las matrices cuadradas de determinantes nulos se les llama MATRICES SINGULARES.

Se llama MATRIZ ADJUNTA de una matriz cuadrada A, a la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de la matriz A. A la matriz adjunta de A, se le llama A^d.

Se llama MATRIZ INVERSA de una matriz regular A, a otra matriz B, del mismo orden tal que A.B=B.A=I(M.unidad)

La matriz inversa de A se representa por A^-1 y coincide con la matriz traspuesta de la adjunta de A, dividida por el valor del determinante.

A^-1 = (A^d)^t / |A|

RANGO DE UNA MATRIZ.

Sea A una matriz rectangular de dimensión nxm. Se llama menor de orden h, al determinante de una matriz cuadrada cualquiera de orden h, que está formado por los elementos que pertenecen a h filas y h columnas. Estos menores se obtienen suprimiendo de todas las formas posibles n-h filas y m-h columnas.

Se llama RANGO DE UNA MATRIZ A, al orden h de un menor no nulo, siempre que todos los menores de orden superior a h sean nulos.

El rango de una matriz formada por las componentes de un conjunto de vectores, nos da el número de vectores de ese conjunto que son linealmente independientes.

MÉTODO DE ORLAR, PARA EL CÁLCULO DE RANGOS.

Si a partir de un menor de orden n distinto de cero,

todos los menores de orden n+1 que se pueden formar con los elementos del anterior menor, orlando los elementos de la matriz son cero el rango es n.

PROPIEDADES DEL RANGO DE UNA MATRIZ.

• El rango es único

• Si una línea tiene nulos todos sus elementos, se puede suprimir para calcular el rango.

• Si una linea es proporcional a otra, se puede suprimir para calcular el rango.

• si una linea es combinación lineal de otras, se puede suprimir para calcular el rango.

PERMUTACIONES U ORDENACIONES.

Llamamos permutaciones u ordenaciones de n, a los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, entrando en cada grupo los n elementos, distinguiendose un grupo de otro por el orden de los elementos.

Pn=n!=n(n-1)(n-2)....1

PERMUTACIÓN PRINCIPAL.

Si no se designa previamente llamaremos permutación principal, a la que tiene sus elementos en el orden natural.

PERMANENCIA E INVERSIÓN.

Decimos que dos elementos en una permutación están en permanencia cuando prescindiendo de los demas están en el mismo orden que en la permutación principal. En caso contrario están en inversión.

El número de inversiones se designa a.

CLASE PAR O IMPAR.

Si una permutación presenta en total un número par de inversiones decimos que es de clase par.

TRASPOSICIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA PERMUTACIÓN.

Si en una permutación se trasponen dos elementos de la permutación, la permutación cambia de clase. (De par a impar o viceversa)