MATRICES

DEFINICION.-Definimos matriz como un conjunto de números reales ordenados en filas y columnas.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₁ a₂₂

Designaremos la matriz entre parentesis y sus elementos con una letra con dos subindices, el primero para las filas y el segundo para las columnas.

(a_ij) Matriz de i filas y j columnas.

a_ij Elemento que ocupa en la matriz la fila i y la columna j.

DIMENSION de una matriz es el pruducto indicado de filas por columnas. Ej.- Matriz de dimensión 2X3

Cuando tienen el mismo nº de filas que de columnas, llamaremos orden de la matriz al nº de filas ó columnas.

TIPOS DE MATRICES (1).

-Rectangulares.- M. que tienen distinto nº de filas que de columnas.

-Cuadradas.- M. con igual nº de filas que de columnas.

-M.Columna.- M. rectangular de dimensión nx1.

-M.Fila.- M. rectanngular de dimensión 1xm.

-M.Nula.- M. que tiene todos sus elementos nulos.

DIAGONAL DE UNA MATRIZ CUADRADA.-

-DIAGONAL PRINCIPAL es el conjunto de elementos a_ij / i=j

-DIAGONAL SECUNDARIA es el conjunto de elementos a_ij / i+j=n+1

n=orden de M.

TIPOS DE MATRICES (2)

-M. Diagonal.- Es una M. cuadrada que tiene nulos todos los elementos, excepto los de la diagonal principal.

Ej.

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-M. Escalar.- Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales.

-M. Unidad.- Es la matriz escalar cuyos elementos distintos de 0 son iguales a 1.

-M. Triangular- Es la matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal nulos.

Ej.

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OPERACIONES CON MATRICES

IGUALDAD DE MATRICES.-Dadas dos M. de la misma dimensión, diremos que ambas son iguales cuando lo son sus elementos correspondientes.

(a_ij) = (b_ij) == i=j Vi,Vj

SUMA DE MATRICES.-En el cunjunto de las matrices rectangulares de dim. nxm , se define una ley de composición interna llamada suma de matrices como la siguiente aplicación:

M_nxm x M_nxm ----- M_nxm

((a_ij) , (b_ij))----- (a_ij)+(b_ij) = (a_ij+b_ij)

Es decir , a cada par de matrices rectangulares de dim. nxm, le hacemos corresponder otra matriz de la misma dim. cuyo elementos se obtienen sumando termino a termino los elementos correspondientes a cada matriz .

Ej.

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PROPIEDADES de la suma de matrices.

-Conmutativa.-

(a_ij) + (b_ij) = (b_ij)+(a_ij)

-Asociativa.-

[(a_ij)+(b_ij)]+(c_ij)=(a_ij)+[(b_ij)+(c_ij)]

-Ele.Neutro.-

(a_ij)+(0)=(a_ij)

-Ele.Opuesto.-La M. opuesta de una dada es la que resulta de sustituir en la M. dada, cada elemento por su opuesto.

La M. opuesta actua como elemento opuesto en la suma de matrices. (a_ij)+(b_ij)=0

Todas estas propiedades son consecuencia de la definición de suma de matrices y de las correspondientes propiedades de los números reales. Como consecuencia de todas estas propiedades el conjunto de las matrices M_mxn respecto a la operación suma, tiene estructura de Grupo Abeliano.

PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ.

En el conjunto M_mxn se define la ley de composición externa denominada producto de un número real por una matriz como la siguiente aplicación:

R x M_mxn -----------M_mxn

(t ,(a_ij)) -----------t.(a_ij)=(t.a_ij)

Es decir el producto de un número real por una matriz rectangular de dim. mxn, es otra matriz de la misma dim. cuyos elementos se obtienen multiplicando dicho número por todos los elementos de la matriz dada.

PROPIEDADES.

-Distributiva mixta del producto de un número real, respecto a la suma de matrices. t.[(a_ij)+(b_ij)]=t.(a_ij)+t.(b_ij)

-Distributiva mixta del producto de una matriz respecto a la suma de números reales. (a_ij).(t+p)=t.(a_ij)+p.(a_ij)

-Asociativa mixta. (t.p)[(a_ij)]=t.[p.(a_ij)]

-Elemento neutro para la ley externa. Elemento unidad.

1.(a_ij)=(a_ij).1=(a_ij)

EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES RECTANGULARES.

Por lo visto anteriormente, el cunjunto de las matrices rectangulares de dim. nxm respecto de la ley externa, producto de un número real por una matriz y respecto a la ley de composición interna, suma de matrices, tiene estructura de espacio vectorial sobre R.

( M_nxm,+,.R)-----Espacio vectorial.

PRODUCTO DE MATRICES.

En el conjunto M_nxm, en el conjunto M_mxp y en el conjunto M_nxp, se llama pruducto de matrices a la siguiente aplicación.

M_nxm x M_mxp ----------- M_nxp

((a_ij),(b_jk))------------- (a_ij).(b_jk)= a_ij.b_jk=c_ik

Es decir, los elementos de la matriz producto se obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar, los elementos de la fila que ocupa el lugar i de la matriz (a_ij) por los elementos de la columna que ocupa el lugar k de la matriz (b_jk).

Observemos que para multiplicar matrices, el número de columnas del primer factor ha de ser igual al número de filas de la matriz que actua como segundo factor.

La dimensión de la matriz producto es nxp siendo:

n=Número de filas de la 1ª matriz

p=Número de columnas de la 2ª matriz

Ejemplos.:

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Ejemplos.:

EN EL CONJUNTO DE LAS MATRICES CUADRADAS de orden n

se cumplen las siguientes propiedades del producto de matrices.

-Asociativa. [(a_ij).(b_jk)].(c_kr)=(a_ij).[(bjk).(c_kr)]

-Elem. neutro. La matriz unidad, actua como elem. neutro del

producto de matrices.

PROPIEDAD distributiva del producto respecto de la suma.

(a_ij).[(b_jk)+(c_jk)]=(a_ij).(b_jk)+(a_ij).(c_jk)

-IMPORTANTE.: El producto de matrices no es conmutativo.

EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS.

Por todo lo dicho anteriormente podemos asegurar que el conjunto de las matrices de orden n con respecto a las dos leyes internas, suma y producto de matrices tiene estructura de anillo unitario no conmutativo.

( Mn,+,.)---Anillo unitario.

TRASPOSICION DE MATRICES.

Sean M_nxm y M_mxn, el conjunto de todas las matrices de dim. nxm y mxn respectivamente. Se llama trasposición de matrices a toda aplicación:

M_nxm-----------M_nxm

(a_ij)----------(a_ij)^t=(a_ji)

Es decir, dicha aplicación asocia a cada matriz de dim nxm, otra matriz de dim mxn, que se obtiene convirtiendo las filas en columnas sin alterar su orden.

Ejemplo.

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TIPOS DE MATRICES.

-Matriz simétrica es aquella matriz que coincide con su traspuesta. Ej.:

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-Matriz antisimétrica es aquella matriz que su opuesta coincide con su traspuesta. Ej.:

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-Mariz ortogonal es aquella matriz cuadrada que cumple que el producto por su traspuesta es igual a la matriz unidad.

Ej.:

senx -cosx

cosx senx