PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Expongo aquí, resuelto, un problema típico de programación lineal.
Pretendo con ello, que mis alumnos de 1º de Bachillerato, vean una aplicación práctica de la resolución de los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas, aunque la programación lineal no esté dentro del programa de la asignatura.
He decidido incluir este problema en mi blog, en vez de “subirlo” a mi wiki-espacio, por si una aplicación tan práctica de unas matemáticas elementales, pudieran ser de interés para algunas de las personas que visitan mi blog.
Como introducción diré que en 1939, el matemático ruso Leonidas V. Kantorovitch publica una extensa monografía, Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción, en la que por primera vez, se tratan una gran gama de problemas con una teoría matemática muy concreta y precisa que hoy llamamos programación lineal.
En 1941-1942, se formula por primera vez el problema del transporte y lo hacen de forma independiente, por un lado Koopmans y por otro Kantorovitch.
Pero el desarrollo operativo de la programación lineal comienza en 1947, cuando George Bernard Dantzing hizo la primera formulación del METODO SIMPLEX.
Aquí, he usado para resolver el problema un método geométrico muy sencillo y lógico.
La programación lineal, se aplicó primeramente a problemas de nutrición ( problema de la dieta ) y después, a multitud de problemas de todo tipo, la mayor parte de las veces, estos problemas eran económicos.
En 1958, se aplican los métodos de la programación lineal, para calcular el plan óptimo de transporte de materiales, a las obras en Moscú.
Os dejo con un sencillo problema, con el que nos podemos hacer una idea de esta parte de las Matemáticas.
Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la del tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas. Las del tipo B contienen 2 kg de chocolate, 1,5 de almendras y 1 de fruta. Los precios de las cajas de tipo A y B son respectivamente 7 € y 9 € ¿Cuantas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su venta?
SOLUCIÓN
Lo primero que haremos, es ordenar los datos, nos facilitará el planteamiento de las inecuaciones que formarán la región factible.
La región factible es el recinto del plano que verifica todas las inecuaciones.
El número de cajas del tipo A que debemos fabricar le llamamos x.
El número de cajas del tipo B que debemos fabricar le llamamos y.
El chocolate total que emplearemos será 3x+2y , lógicamente, tendrá que ser menor ó igual que la cantidad de chocolate que tenemos…que son 500 kg.
Lo mismo con las almendras y la fruta.
Las inecuaciones que forman la región factible son:
3x+2y ≤ 500
x+1,5y ≤ 100
x + y ≤ 85
x ≥ 0
y ≥ 0
Las inecuaciones x ≥ 0 e y ≥ 0 son de pura lógica. Nunca podremos fabricar un número negativo de cajas Las dos inecuaciones antes citadas, definen el primer cuadrante del plano.
A continuación, dibujamos las rectas r-> 3x+2y = 500,
Expongo aquí, resuelto, un problema típico de programación lineal.
Pretendo con ello, que mis alumnos de 1º de Bachillerato, vean una aplicación práctica de la resolución de los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas, aunque la programación lineal no esté dentro del programa de la asignatura.
He decidido incluir este problema en mi blog, en vez de “subirlo” a mi wiki-espacio, por si una aplicación tan práctica de unas matemáticas elementales, pudieran ser de interés para algunas de las personas que visitan mi blog.
Como introducción diré que en 1939, el matemático ruso Leonidas V. Kantorovitch publica una extensa monografía, Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción, en la que por primera vez, se tratan una gran gama de problemas con una teoría matemática muy concreta y precisa que hoy llamamos programación lineal.
En 1941-1942, se formula por primera vez el problema del transporte y lo hacen de forma independiente, por un lado Koopmans y por otro Kantorovitch.
Pero el desarrollo operativo de la programación lineal comienza en 1947, cuando George Bernard Dantzing hizo la primera formulación del METODO SIMPLEX.
Aquí, he usado para resolver el problema un método geométrico muy sencillo y lógico.
La programación lineal, se aplicó primeramente a problemas de nutrición ( problema de la dieta ) y después, a multitud de problemas de todo tipo, la mayor parte de las veces, estos problemas eran económicos.
En 1958, se aplican los métodos de la programación lineal, para calcular el plan óptimo de transporte de materiales, a las obras en Moscú.
Os dejo con un sencillo problema, con el que nos podemos hacer una idea de esta parte de las Matemáticas.
Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la del tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas. Las del tipo B contienen 2 kg de chocolate, 1,5 de almendras y 1 de fruta. Los precios de las cajas de tipo A y B son respectivamente 7 € y 9 € ¿Cuantas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su venta?
SOLUCIÓN
Lo primero que haremos, es ordenar los datos, nos facilitará el planteamiento de las inecuaciones que formarán la región factible.
La región factible es el recinto del plano que verifica todas las inecuaciones.
El número de cajas del tipo A que debemos fabricar le llamamos x.
El número de cajas del tipo B que debemos fabricar le llamamos y.
El chocolate total que emplearemos será 3x+2y , lógicamente, tendrá que ser menor ó igual que la cantidad de chocolate que tenemos…que son 500 kg.
Lo mismo con las almendras y la fruta.
Las inecuaciones que forman la región factible son:
3x+2y ≤ 500
x+1,5y ≤ 100
x + y ≤ 85
x ≥ 0
y ≥ 0
Las inecuaciones x ≥ 0 e y ≥ 0 son de pura lógica. Nunca podremos fabricar un número negativo de cajas Las dos inecuaciones antes citadas, definen el primer cuadrante del plano.
A continuación, dibujamos las rectas r-> 3x+2y = 500,
s->x +1,5 y = 100, t-> x+y = 85
r -> 3x+2y = 500, y = ( 500 - 3x) /2 Para x = 0 -> y = 250
r -> 3x+2y = 500, y = ( 500 - 3x) /2 Para x = 0 -> y = 250
Para x = 100 -> y = 100
s -> x +1,5 y = 100 por 2 -> 2x+3y = 200, y = ( 200 - 2x)/3
s -> x +1,5 y = 100 por 2 -> 2x+3y = 200, y = ( 200 - 2x)/3
x = 100 -> y = 0 ; x=0 -> y =200/3 =Aprox 66,6
t -> x+y = 85, y = 85 – x Para x = 0 ->y = 85 Para x = 85->y = 0
La función que queremos hacer máxima, la venta total, será:
t -> x+y = 85, y = 85 – x Para x = 0 ->y = 85 Para x = 85->y = 0
La función que queremos hacer máxima, la venta total, será:
Z (x,y) = 7 x + 9 y
Dibujamos las rectas, a continuación, vemos qué semiplano en cada caso, verifica la inecuación correspondiente. Para ello y puesto que ninguna de las rectas pasa por el ( 0, 0 ) lo más fácil es dar este valor, viendo si verifica la inecuación o no. Si la verifica, será esa parte del plano la solución de la inecuación correspondiente, si no es así, será la otra parte del plano.
La región factible es el cuadrilátero OABC. En cualquiera de los puntos de ese recinto se verifican todas las inecuaciones.
Las coordenadas de A son ( 0 , 200/3). Para calcular las de B, hay q resolver el sistema dado por s y t ->B ( 55 , 30). Las coordenadas de C son (85,0)
Pero la función que queremos optimizar, en este caso maximizar, alcanzará su valor máximo en la frontera de dicho recinto, lo anterior es muy lógico pero su demostración, excede los objetivos que me he propuesto.
Dibujamos las rectas, a continuación, vemos qué semiplano en cada caso, verifica la inecuación correspondiente. Para ello y puesto que ninguna de las rectas pasa por el ( 0, 0 ) lo más fácil es dar este valor, viendo si verifica la inecuación o no. Si la verifica, será esa parte del plano la solución de la inecuación correspondiente, si no es así, será la otra parte del plano.
La región factible es el cuadrilátero OABC. En cualquiera de los puntos de ese recinto se verifican todas las inecuaciones.
Las coordenadas de A son ( 0 , 200/3). Para calcular las de B, hay q resolver el sistema dado por s y t ->B ( 55 , 30). Las coordenadas de C son (85,0)
Pero la función que queremos optimizar, en este caso maximizar, alcanzará su valor máximo en la frontera de dicho recinto, lo anterior es muy lógico pero su demostración, excede los objetivos que me he propuesto.
Vamos a evaluar la función Z, llamada función objetivo, en cada uno de los vértices del recinto.
Recordemos Z = 7 x + 9 y
Recordemos Z = 7 x + 9 y
En el O ( 0,0 ) evidéntemente Z = 0
ZA= 7 . 0 + 9 . 200/3 = 600 €
ZB = 7 . 55 + 9 . 30 = 655 €
ZC = 7 . 85 + 9 . 0 = 595 €
ZA= 7 . 0 + 9 . 200/3 = 600 €
ZB = 7 . 55 + 9 . 30 = 655 €
ZC = 7 . 85 + 9 . 0 = 595 €
Maximiza por lo tanto B. Hay que fabricar 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B para hacer la venta máxima.
Existe otra forma también muy usada, la de las rectas de nivel, pero creo que la anteriormente expuesta, se entiende muy bien.
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